[Update] 페르마 포인트(스타이너 포인트) | 페르마 포인트 – Pickpeup

페르마 포인트: นี่คือโพสต์ที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อนี้

< 마지막 수정일 2020.03.17 >

학생 질문으로 시작된 페르마 포인트에 대한 내용이 점점 많아지고 있다. 몇 번을 수정하는 건지….

찾아볼수록 새로운 내용이 나오고 있고 찾아보다가 페르마 포인트 증명도 제대로 안 해놓고 대충 적혀있는 내용들이 많길래 한번 정리해봤다. 수학(과학) 하는 사람의 기본 자질은 의심(why?)이다. 증명이 쓰여있지 않다면 항상 왜?라는 생각을 달고 살아야 되는데 증명도 안 된 내용을 그대로 가지고 와서 적어놓은 블로그가 많아서 한번 정리해본다. 여기서도 잘못된 내용이 발견된다면 알려주기 바란다.

개인적으로 어떤 수학적인(학문적인) 자료를 제대로 찾고 싶을 때는 영문 위키피디아가 정말 객관적이고 좋은 자료라 생각된다. 전문적인 자료보다 수학에 대한 상식을 넓히고 싶거나 소논문, 산출물 자료가 필요하다면 네이버캐스트 -> 오늘의 과학 -> 수학 산책을 추천한다.

페르마 포인트의 역사

우선 역사적인 내용부터 살펴보자. 페르마 포인트는 페르마(Fermat)가 문제를 냈고 토리첼리(Torricelli)가 풀었기 때문에 페르마 포인트뿐 아니라 토리첼리 포인트, 페르마-토리첼리 포인트라고도 부른다. 페르마 포인트는 삼각형에서만 사용되는 용어이지만 나중에 일반화를 시키면서 임의의 n 개의 점이 주어져 있을 때 한 지점에서부터 각 꼭짓점까지 거리의 합이 최소가 되는 점을 기하 중앙값(geometric median) 또는 페르마-웨버 포인트(fermat-weber point)라고도 부른다. 하지만 일반적으로 삼각형 외에는 페르마의 이름을 잘 넣지 않는다.

페르마 포인트를 일반화할 때 더 이상 기하 문제라기보다 조합론으로 넘어간다. 페르마 포인트를 조합론 관점에서 생각해보면 삼각형 대신 세 점만 남게 되고 어떤 지점에서 세 점까지의 거리의 합이 최소가 되게 하는 점을 페르마 포인트라 할 수 있다. 이렇게 조합론에서는 점과 선으로 이루어져 있으면서 회로(cycle)가 없는 연결 무향 그래프(connected undirected graph)를 트리(tree, 수형도)라 한다. 거리 합의 최솟값이기 때문에 당연히 모든 점들은 다른 점과 연결이 돼야 되고 회로는 될 수 없다. 이런 내용은 위키백과(나무위키)를 찾아보면 설명이 잘 나온다.

READ  [Update] [미드] 왕좌의 게임 족보 가문 간략 정리 | 왕좌의 게임 도른 - Pickpeup

페르마 포인트 문제의 일반화로 볼 수 있는 것은 크게 두 가지 있다. 하나는 웨버 문제(weber problem)고 다른 것은 스타이너 트리 문제(steiner tree problem)이다. 웨버 문제는 한글로 검색하려면 베버의 공업 입지론으로 하면 되는 것 같다. (스타이너는 독어라 추정되기에 원래 발음은 슈타이너일 것이다. 웨버도 베버… 하지만 미국 놈들은 알파벳으로 쓰여있으면 죄다 자기네 발음으로 발음한다. ex) 오일러(Euler) -> 율러)

웨버 문제는 n 개의 점에 가중치가 있을 때 특정 위치(한 점)에서부터 거리의 합이 언제 최소가 되냐는 문제인 것 같고 스타이너 트리 문제는 가중치는 없는 n 개의 점에 대해 서로 연결했을 때 거리의 합이 최솟값이 되는 문제이다. 최솟값을 구하기 위해 점이 추가가 돼도 된다. 추가되는 점들은 최소 3개 이상의 점들과 연결돼야 되는데 왜냐하면 1, 2개의 점만 연결되는 점은 거리의 최솟값과 아무 상관없기 때문이다. 그렇기 때문에 좀 더 따져보면 추가되는 점은 n-2개 이하가 된다는 걸 알 수 있다. 이렇게 추가되는 점을 스타이너 포인트라 부른다.

READ  [Update] World Economic Outlook | outlook - Pickpeup

그렇기 때문에 흔히 인터넷에서 말하는 사각형 이상의 페르마 포인트는 페르마 포인트가 아니고 스타이너 포인트이다. 페르마 이름이 붙은 일반화는 기하 중앙값과 관련 있으므로 엄밀하게 말해서 사각형의 페르마 포인트는 한 점만 추가해야 되므로 대각선의 교점이다. 페르마 포인트에 대한 역사적인 내용은 여기까지 알아보고 페르마 포인트의 내용과 증명에 대해 알아보자.

삼각형에서의 페르마 포인트

페르마 포인트란 삼각형 내부의 한 점에서부터 꼭짓점까지 거리의 합이 가장 작게하는 작은 점을 뜻한다. 그리고 일반적으로 모든 각이 120도를 넘지 않는 삼각형을 기준으로 말한다. 왜냐하면 120도 이상인 각이 있는 삼각형은 그 점에 가까울수록 최솟값이 나오기 때문에 삼각형 내부에서 최솟값이 존재하지 않는다.

삼각형 ABC 내부 한 점을 P라고 할 때 점 B를 기준으로 삼각형 ABP를 60도 삼각형 바깥쪽으로 회전시키는 신기한 아이디어를 사용한다. 처음 보는 사람한테는 매우 신기한 아이디어기에 중학교 경시대회 기하 부분에서 빠지지 않고 다루는 내용이다.(이런 아름다운 아이디어를 사용하는 문제는 당연히 교육과정에선 나오지 않는다.)


2007년 9월 고1 학평 수학 15번 – 페르마 포인트


티스토리 Math Mining [매쓰 마이닝]
https://mathmining.tistory.com/146

นอกจากการดูบทความนี้แล้ว คุณยังสามารถดูข้อมูลที่เป็นประโยชน์อื่นๆ อีกมากมายที่เราให้ไว้ที่นี่: ดูความรู้เพิ่มเติมที่นี่

2007년 9월 고1 학평 수학 15번 - 페르마 포인트

The Fermat Point of a Triangle | Geometric construction + Proof |


READ  [NEW] 柳岩竟然不是最大的!A罩杯到G罩杯女星盘点 | 人体艺术 - Pickpeup

Learn more theorems in Euclidean geometry and their applications at:
https://brilliant.org/ThinkTwice

Please consider supporting Think Twice on:
► Patreon: https://patreon.com/Think_twice
► Twitter: https://twitter.com/thinktwice2580 (@thinktwice2580)
► Instagram: https://instagram.com/thinktwice_ltu/
(@thinktwice_ltu)

Summary:
The Fermat point of a triangle ABC is a point P such that the sum of distances PA+PB+PC is a minimum.
To find the Fermat point of a triangle ABC:
1. Construct equilateral triangles on each side of ABC
2. Connect vertices A,B and C to the opposite and outermost vertex of equilateral triangle.
3. The point at which the three lines intersect is a Fermat point of triangle ABC.
In the case where one of the angles of triangle ABC is greater than 120 degrees the Fermat point will be located at the obtuseangled vertex of ABC.

Contact me:
► thinktwiceask@gmail.com

Music by:
► Lee: https://www.youtube.com/watch?v=Epi2rsr04Os

The Fermat Point of a Triangle | Geometric construction + Proof |

[특강] 페르마 점 (Fermat Point)


[특강] 페르마 점 (Fermat Point)

[특강] 페르마 점 (Fermat Point)

증명을 못해서 놀란 한석원


증명을 못해서 놀란 한석원

임기등 선생 고1 수학 평면좌표 중에서 페르마의 점


대치동 시대인재 학원 임기등선생의 고1 수업중 평면좌표 중에서 내분점과 외분점, 무게중심, 삼각형의 오심, 페르마의 점까지…

임기등 선생 고1 수학 평면좌표 중에서 페르마의 점

นอกจากการดูบทความนี้แล้ว คุณยังสามารถดูข้อมูลที่เป็นประโยชน์อื่นๆ อีกมากมายที่เราให้ไว้ที่นี่: ดูบทความเพิ่มเติมในหมวดหมู่Music of Turkey

ขอบคุณมากสำหรับการดูหัวข้อโพสต์ 페르마 포인트

Leave a Comment