[Update] 자연수 거듭제곱의 합 공식, 유도 | 2의 거듭제곱 – Pickpeup

2의 거듭제곱: คุณกำลังดูกระทู้

자연수의 합을 구할 수 있나요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n이요. 숫자만 보면 첫째항이 1이고 공차가 1인 등차수열이니까 자연수의 합은 등차수열의 합 공식을 이용하면 구할 수 있어요.

이 글에서는 그냥 자연수의 합이 아니라 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + … + n2처럼 거듭제곱인 자연수의 합을 구하는 공식을 유도해볼 거예요.

지수가 더 높은 자연수의 거듭제곱도 공식을 유도하는 원리와 방법이 같아요. 어떤 원리로 어떤 과정을 거쳐서 공식을 유도하는지 잘 알아두세요.

자연수 거듭제곱의 합

자연수의 합을 구해볼까요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n

이 자연수의 합은 첫째항이 1이고 공차가 1, 마지막 항이 n인 등차수열의 합이에요. 따라서 등차수열의 합 공식을 이용해서 구할 수 있어요. 또 숫자들의 합이니까 ∑를 이용해서 나타낼 수도 있죠.

이번에는 자연수 제곱의 합을 구해볼까요? 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + … + n2

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그런데 이 수열은 등차수열도 아니고 등비수열도 아니에요. 그래서 공식을 바로 적용할 수가 없죠. 이 자연수 제곱의 합을 구하는 공식을 유도해보죠.

항등식 (x + 1)3 – x3라는 식을 이용할 거예요. 구하려고 하는 자연수는 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이네요.

(x + 1)3 – x3 = x3 + 3×2 + 3x + 1 – x3 = 3×2 + 3x + 1

이 항등식에 x = 1, 2, 3, 4, n을 대입해보죠.

x = 1 → 23 – 13 = 3 × 12 + 3 × 1 + 1
x = 2 → 33 – 23 = 3 × 22 + 3 × 2 + 1
x = 3 → 43 – 33 = 3 × 32 + 3 × 3 + 1
x = 4 → 53 – 43 = 3 × 42 + 3 × 4 + 1
x = n → (n + 1)3 – n3 = 3 × n2 + 3 × n + 1

위 n개의 식을 같은 변끼리 더해보죠. 좌변에서는 왼쪽에 있는 항과 바로 아래 식에 있는 오른쪽 항이 없어져요. 그러면 첫 번째 식의 – 13과 마지막 식의 (n + 1)3만 남게 되죠. 우변에서는 3과 제곱으로 이루어진 항을 하나로 묶을 수 있고, 3과 숫자가 곱해진 항을 묶을 수 있어요. 1은 n개가 있네요.

(n + 1)3 – 13 = 3(12 + 22 + 32 + 42 + … + n2) + 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n) + n

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우변의 괄호 안에 있는 숫자들의 합을 ∑를 이용해서 나타내고 을 대입해보죠.

자연수 제곱의 합 공식을 얻었어요.

자연수 세제곱의 합 공식

자연수 제곱의 합은 항등식 (x + 1)3 – x3라는 식을 이용해서 구했어요. 구하려고 하는 자연수는 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이었죠? 그럼 자연수의 세제곱의 합은 어떻게 구할까요? 세제곱의 합을 구하는 거니까 네제곱이 있는 항등식을 이용해요. (x + 1)4 – x4

(x + 1)4 – x4 = 4×3 + 6×2 + 4x + 1

위에서 했던 것처럼 x = 1, 2, 3, 4, …, n을 대입하고 같은 변끼리 더해서 정리하면 자연수의 세제곱 합 공식을 얻을 수 있어요.

자연수 거듭제곱의 합 공식

을 간단히 하여라.

시그마(∑)의 기본 성질을 이용해서 각 항을 나눠보죠. 그리고 위에서 유도한 자연수 거듭제곱의 합 공식을 대입해요.

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정리해볼까요

자연수 거듭제곱의 합 공식

 

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107. 거듭제곱과 거듭제곱근 – 개념정리


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EBS 클립뱅크(Clipbank) – 거듭제곱(Involution)


거듭제곱(Involution) ,20120427
EBS Learning(교육), 배움 너머, Beyond Learning
아이들에게 익숙한 종이접기 소재를 이용, 지구에서 달까지의 거리를 재는 흥미로운 방법을 통해 거듭제곱의 개념과 필요성에 대해 이야기한다.
By presenting a paper folding activity in which children are familiar with, the video tells the need and the concept of involution by measuring the distance from the earth to the moon.

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საუბარი ჩატარდა 2021 წლის 26 სექტემბერს

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