[NEW] [더플러스수학] 가우스 소거법 – 기본 행 연산, 기본 행렬 | 단위행렬 – Pickpeup

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연립방정식을 풀 때, 문자를 소거하느라 단순 계산 과정이 엄청 많다는 것을 경험한 적이 있을 것이다. 특히 연립방정식 중에서 미지수의 개수가 식의 개수보다 많은 연립방정식이면 역행렬이 존재하지 않아서 해를 구하기가 힘들다. 또, 역행렬이 존재한다 하더라도 행렬의 크기가 커 역행렬 구하기가 힘들 때, 우리는 을 많이 쓴다.

또, 컴퓨터 프로그램으로 짜기도 쉬어 가우스 소거법을 이용하여 해를 구하는 과정이 쉬워진다. 

가우스 소거법에 대하여 알아보자. 

다음과 같은 \(\displaystyle 3\)개의 미지수를 가진 연립일차방정식을 생각해보자.

\(\displaystyle \begin{cases} a_{11}x +a_{12}y+a_{13}z=b_{1} \\a_{21}x +a_{22}y+a_{23}z=b_{2} \\a_{11}x +a_{12}y+a_{13}z=b_{2}\\a_{31}x +a_{32}y+a_{33}z=b_{3}\end{cases}\)      (1)

이것을 행렬로 나타내면

\(\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\a_{21}&a_{22}&a_{23} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} \) 

이 때, \(\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\a_{21}&a_{22}&a_{23} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\)를 주어진 방정식의 (coefficient matrix)이라고 한다.

또, 이 때의 미지수 \(\displaystyle x_1 ,~x_2 ,~x_3  \)를 이 순서대로 고정시키면 연립방정식 (1)에 대해 \(\displaystyle b_1,~b_2 ,~b_3\) 를 계수행렬에 덧붙여 다음과 같은 행렬을 만들 수 있다.

\(\displaystyle \left( \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\a_{21}&a_{22}&a_{23} \\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right. \begin{matrix} \vert\\ \vert\\\vert \end{matrix} \left.\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{matrix} \right)\) 

이 행렬을 행렬 \(\displaystyle A\)에 (Augmented matrix)라고 한다. 또, 일반적으로 두 연립방정식의 해가 같을 때, 이 두 연립방정식은 서로 라고 말한다.

우리가 연립방정식을 풀 때, 한 문자를 소거하기 위해 하는 행위를 통해 만들어지는 모든 연립방정식들은 원래의 연립방정시과 모두 동치이다. 그 행위를 정리하면 아래와 같다. 

(i) 서로 을 바꾸어 놓는다.

(ii) 한 영이 아닌 수 \(\displaystyle a\)를 곱한다.

(iii) 한 의 \(\displaystyle a\)배를 하여 에 더한다.

 

이 연산을 에 시행하는 것을 이라고 한다. 즉,

(i) 바꾸어 놓는다.

(ii) 한 영이 아닌 수 \(\displaystyle a\)를 곱한다.

(iii) 한 \(\displaystyle a\)배를 하여 에 더한다.

 

정의1. \(\displaystyle n\)차 단위행렬 \(\displaystyle I_{n \times n}\)에 기본행 연산을 하여 얻어지는 행렬을 라고 한다.

예를 들어 \(\displaystyle 3\)차 단위행렬 \(\displaystyle I_{3 \times 3}\)에서

(1) \(\displaystyle 1\)행과 \(\displaystyle 2\)행를 바꾸는 기본행렬은 마치 일차변환에서 \(\displaystyle y=x\)에 대칭변환하듯이 단위행렬 \(\displaystyle I_{3 \times 3}\)에서 \(\displaystyle 1\)행과 \(\displaystyle 2\)행을 바꾸면 된다. 즉,

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 0&\textcolor{red}{1}&0 \\\textcolor{red}{1}&0&0 \\0&0&1\end{pmatrix}\) 

(2) \(\displaystyle 3\)행에 \(\displaystyle 5\)배 하는 연산은 \(\displaystyle I_{3 \times 3}\)의 \(\displaystyle (3,~3)\)성분에 \(\displaystyle 5\)를 넣으면 된다. 

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&0&0 \\0&1&0 \\0&0&\textcolor{red}{5}\end{pmatrix}\) 

(3) \(\displaystyle 3\)행에 \(\displaystyle 4\)배하여 \(\displaystyle 1\)행에 더하는 기본행렬은 단위행렬 \(\displaystyle I_{3 \times 3}\)에서 \(\displaystyle (1,~3)\)의 성분에 \(\displaystyle 4\)를 넣으면 된다.즉,

\(\displaystyle \begin{pmatrix} \textcolor{red}{1}&0&\textcolor{red}{4} \\0&1&0 \\0&0&1\end{pmatrix}\) 

 

이제 위의 기본행연산과 그것을 행렬로 표현한 기본행렬을 이용하여 가우스 소거법을 시행해 보자.

\(\displaystyle \begin{cases} 3x -7y+2z=4 \\2x -4y+z=1\end{cases}\) \(\displaystyle \Longleftrightarrow \)     \(\displaystyle \left( \begin{matrix} 3&-7&2\\2&-4&1\end{matrix}\right. \begin{matrix} \vert\\ \vert\end{matrix} \left.\begin{matrix}4\\1\end{matrix} \right)\) 

\(\displaystyle 2\)행에 \(\displaystyle (-1)\)배하여 \(\displaystyle 1\)행에 더한다. (행연산 iii)

\(\displaystyle \begin{cases} x -3y+z=3 \\2x -4y+z=1\end{cases}\) \(\displaystyle \Longleftrightarrow \)     \(\displaystyle \left( \begin{matrix} 1&-3&1\\2&-4&1\end{matrix}\right. \begin{matrix} \vert\\ \vert\end{matrix} \left.\begin{matrix}3\\1\end{matrix} \right)\) 

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 이것을 기본행렬로 만들면 \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1& \textcolor{red}{-1}\\0&1\end{pmatrix}\) 이고 이것을 위의 행렬의 왼쪽에 곱하면 똑같은 결과가 나온다. 즉, 

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1& \textcolor{red}{-1}\\0&1\end{pmatrix}\left( \begin{matrix} 3&-7&2\\2&-4&1\end{matrix}\right. \begin{matrix} \vert\\ \vert\end{matrix} \left.\begin{matrix}4\\1\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1&-3&1\\2&-4&1\end{matrix}\right. \begin{matrix} \vert\\ \vert\end{matrix} \left.\begin{matrix}3\\1\end{matrix} \right)\) 

다음 \(\displaystyle 1\)행에 \(\displaystyle (-2)\)배하여 \(\displaystyle 2\)행에 더한다. (행연산 iii)

\(\displaystyle \begin{cases} x -3y+z=3 \\0x +2y-z=-1\end{cases}\) \(\displaystyle \Longleftrightarrow \)     \(\displaystyle \left( \begin{matrix} 1&-3&1\\0&2&-1\end{matrix}\right. \begin{matrix} \vert\\ \vert\end{matrix} \left.\begin{matrix}3\\-5\end{matrix} \right)\)

 이것을 기본행렬로 만들면 \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1& 0\\\textcolor{red}{-2}&1\end{pmatrix}\) 이고 이것을 위의 행렬의 왼쪽에 곱하면 똑같은 결과가 나온다. 즉, 

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1& 0\\\textcolor{red}{-2}&1\end{pmatrix} \left( \begin{matrix} 1&-3&1\\2&-4&1\end{matrix}\right. \begin{matrix} \vert\\ \vert\end{matrix} \left.\begin{matrix}3\\1\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1&-3&1\\0&2&-1\end{matrix}\right. \begin{matrix} \vert\\ \vert\end{matrix} \left.\begin{matrix}3\\-5\end{matrix} \right) \) 

이제 \(\displaystyle 2\)행에 \(\displaystyle \frac{1}{2}\)배하자. (행연산 ii)

\(\displaystyle \begin{cases} x -3y+z=3 \\0x +y- \frac{1}{2} z=- \frac{5}{2}\end{cases}\) \(\displaystyle \Longleftrightarrow \)     \(\displaystyle \left( \begin{matrix} 1&-3&1\\0&1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right. \begin{matrix} \vert\\ \vert\end{matrix} \left.\begin{matrix}3\\- \frac{5}{2}\end{matrix} \right)\)

 이것을 기본행렬로 만들면 \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1& 0\\0&\textcolor{red}{\frac{1}{2}}\end{pmatrix}\) 이고 이것을 위의 행렬의 왼쪽에 곱하면 똑같은 결과가 나온다. 즉, 

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1& 0\\0&\textcolor{red}{\frac{1}{2}}\end{pmatrix} \left( \begin{matrix} 1&-3&1\\0&2&-1\end{matrix}\right. \begin{matrix} \vert\\ \vert\end{matrix} \left.\begin{matrix}3\\-5\end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 1&-3&1\\0&1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right. \begin{matrix} \vert\\ \vert\end{matrix} \left.\begin{matrix}3\\- \frac{5}{2}\end{matrix} \right)\)

이제 연립방정식으로 다시 쓰면

\(\displaystyle \left( \begin{matrix} 1&-3&1\\0&1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right. \begin{matrix} \vert\\ \vert\end{matrix} \left.\begin{matrix}3\\- \frac{5}{2}\end{matrix} \right) \)  \(\displaystyle \Longleftrightarrow \)   \(\displaystyle \begin{cases} 1x-3y+z=3\\0x+1y-\frac{1}{2}z=- \frac{5}{2}\end{cases} \)    (2)

여기서 \(\displaystyle  z\)가 어떤 실숫값을 가지더라도 처음 주어진 두 방정식의 근 \(\displaystyle  x,~y,~z\)가 결정되므로 \(\displaystyle  z\)를 라고 한다. 또, \(\displaystyle  x,~y\)는 \(\displaystyle  z\)에 의해 결정되므로 라고 말한다.

이 때, \(\displaystyle z=t\)라 두면 \(\displaystyle y- \frac{1}{2} t = – \frac{5}{2}\)이므로 \(\displaystyle y= \frac{1}{2} t  – \frac{5}{2}\) 이다.

또, \(\displaystyle x-3y+z=3\)에 \(\displaystyle z=t\), \(\displaystyle y= \frac{1}{2} t  – \frac{5}{2}\)를 대입하여 \(\displaystyle x\)에 관하여 정리하면

\(\displaystyle \begin{align}x &= 3\left( \frac{1}{2} t  – \frac{5}{2}\right) -t+3 \\&= \frac{1}{2}t – \frac{9}{2} \end{align}\)

이다. 이를 정리하고 행렬로 표현하면

\(\displaystyle \begin{cases}x= \frac{1}{2}t – \frac{9}{2} \\  y= \frac{1}{2} t  – \frac{5}{2} \\z=t \end{cases}  \)   \(\displaystyle \Longleftrightarrow\)   \(\displaystyle \begin{pmatrix}x &y&z\end{pmatrix}= t \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\\frac{1}{2} \\1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}- \frac{9}{2} \\ -\frac{5}{2} \\ 0\end{pmatrix}  \)  (\(\displaystyle t \) 는 실수)

(2)의 왼쪽의 행렬을 보면 모양이 사다리꼴 모양이 나온다. 이 행렬을 이라고 한다. 

 

정의2. 행사다리꼴, 기약행사다리꼴 행렬

다음 \(\displaystyle 4\)가지 조건을 모두 만족시키는 행렬을 이라 한다.

(1)  \(\displaystyle 0\)만으로 이루어진 행은 그렇지 않은 행보다 뒤에 놓여 있다.

(2) 각 행에서 처음으로 \(\displaystyle0\)이 아닌 성분은 \(\displaystyle1\)이다. 이것을 선도 \(\displaystyle1\) (leading \(\displaystyle1\))이라고 한다.

(3) 조건 (2)의 \(\displaystyle1\)은 행의 번호가 커질수록 더 오른쪽에 놓여 있다.

(4) 조건 (2)의 \(\displaystyle1\)이 들어 있는 열의 나머지 성분은 모두 \(\displaystyle 0\)이다.

위의 조건 중 (1)에서 (3)까지 만족하는 행렬을 이라고 한다.

 

예제 다음 행렬은 행사다리꼴 행렬이다.

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\(\displaystyle \left( \begin{matrix} \textcolor{red}{1} &\textcolor {blue}{-3}&1\\0 & \textcolor{red}{1}  & -\frac{1}{2}  \end{matrix} \right. \begin{matrix} \vert \\ \vert \end{matrix} \left. \begin{matrix} 3\\- \frac{5}{2} \end{matrix} \right) \)

이 때 빨간 \(\displaystyle\textcolor{red}{1}  \)을 선도 \(\displaystyle 1\) 또는 leading \(\displaystyle1\)이라고 부른다. 그런데 푸른 색 \(\displaystyle \textcolor {blue}{-3} \)이 \(\displaystyle 0\)이 된다면 이 행렬은 기약행사다리꼴 행렬이 된다. 즉 \(\displaystyle 2\)행에 \(\displaystyle 3\)배하여 \(\displaystyle 1 \)행에 더하자. 기본행렬 \(\displaystyle \left( \begin{matrix} 1&\textcolor{red}{3}\\0&1\end{matrix} \right) \)을 곱하자.

\(\displaystyle \left( \begin{matrix} 1&\textcolor{red}{3}\\0&1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \textcolor{red}{1} &\textcolor {blue}{-3}&1\\0 & \textcolor{red}{1}  & -\frac{1}{2}  \end{matrix} \right. \begin{matrix} \vert \\ \vert \end{matrix} \left. \begin{matrix} 3\\- \frac{5}{2} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \textcolor{red}{1} &\textcolor {blue}{0}& -\frac{1}{2}\\0 & \textcolor{red}{1}  & -\frac{1}{2}  \end{matrix} \right. \begin{matrix} \vert \\ \vert \end{matrix} \left. \begin{matrix} -\frac{9}{2}\\- \frac{5}{2} \end{matrix} \right)  \)

그러면 \(\displaystyle \left( \begin{matrix} \textcolor{red}{1} &\textcolor {blue}{0}& -\frac{1}{2}\\0 & \textcolor{red}{1}  & -\frac{1}{2}  \end{matrix} \right. \begin{matrix} \vert \\ \vert \end{matrix} \left. \begin{matrix} -\frac{9}{2}\\- \frac{5}{2} \end{matrix} \right)  \)은 기약행사다리꼴 행렬이다. 

기약행사다리꼴 행렬을 만들면 자유변수 \(\displaystyle z\)를 \(\displaystyle z=t\)로 놓고 \(\displaystyle x,~y\)를 \(\displaystyle z\)로 표현하기가 쉽다. 그러나 기본 행 연산을 더 많이 해야 하므로 좀 귀찮다.

다른 예를 좀 더 보자.

 \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&\textcolor {red}{0}&4\\0&1&3\end{pmatrix}\)은 기약행사다리꼴이자 행사다리꼴이다.

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&\textcolor {red}{2}&3\\0&1&1\end{pmatrix}\)은 행사다리꼴 행렬이다. 빨간 \(\displaystyle \textcolor {red}{2}\)가 \(\displaystyle 0\)이 아니기 때문이다.

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&{0}&1\\0&0&\textcolor {red}{1}\\0&\textcolor {red}{1}&2\end{pmatrix}\)은 행사다리꼴 행렬도 기약행사다리꼴 행렬도 아니다. \(\displaystyle 2\)행, \(\displaystyle 3\)행이 위의 (3) 조건을 만족하지 않기 때문이다. \(\displaystyle 2\)과 \(\displaystyle3\)행을 바꾸면 . 즉

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&{0}&\textcolor {blue}{1}\\0&\textcolor {red}{1}&\textcolor {blue}{2}\\0&0&\textcolor {red}{1}\end{pmatrix}\)

파란 색의 수들이 \(\displaystyle 0\)이 아니어서 .

 

(참고) 기약행사다리꼴 행렬과 행사다리꼴 행렬의 특징

(1) 모든 행렬은 기약행사다리꼴 행렬은 유일하다. 즉, 어떠한 기본행연산을 하든 관계없이 마지막에 남는 기약행사다리꼴 행렬은 똑같다.

(2) 그렇지만 행사다리꼴 행렬은 유일하지 않다. 즉 기본행연산의 순서가 다르면 다른 행사다리꼴 행렬이 나온다.

(3) 행사다리꼴은 유일하지는 않지만 행렬 \(\displaystyle A\)의 모든 행사다리꼴은 같은 수의 ‘모든 원소가 \(\displaystyle0\)’인 행을 갖고, 항상 같은 위치에 선도 \(\displaystyle1\)도 같은 위치에 난다. 이곳을 행렬 \(\displaystyle A\)의 라고 하고 축이 있는 열을 \(\displaystyle A\)의 이라고 한다.

행렬  \(\displaystyle A\)와 행사다리꼴, 기약행 사다리꼴에서 위의 성질을 확인할 수 있다. 또, 축의 위치, 즉 선도  \(\displaystyle1\)이 있는 위치는  \(\displaystyle (1,~1),~(2,~1)\)이고 축열은  \(\displaystyle 1\)열과  \(\displaystyle2\)열이다.

 \(\displaystyle A=\left( \begin{matrix} 3&-7&2\\2&-4&1\end{matrix}\right. \begin{matrix} \vert\\ \vert\end{matrix} \left.\begin{matrix}4\\1\end{matrix} \right)\)  \(\displaystyle \left( \begin{matrix} \textcolor{red}{1} &\textcolor {blue}{-3}&1\\0 & \textcolor{red}{1}  & -\frac{1}{2}  \end{matrix} \right. \begin{matrix} \vert \\ \vert \end{matrix} \left. \begin{matrix} 3\\- \frac{5}{2} \end{matrix} \right)\)   \(\displaystyle \left( \begin{matrix} \textcolor{red}{1} &\textcolor {blue}{0}& -\frac{1}{2}\\0 & \textcolor{red}{1}  & -\frac{1}{2}  \end{matrix} \right. \begin{matrix} \vert \\ \vert \end{matrix} \left. \begin{matrix} -\frac{9}{2}\\- \frac{5}{2} \end{matrix} \right)  \)

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정의3 가우스 소거법

연립일차방정식의 해를 구할 때, 먼저 주어진 연립방정식을 덧붙인 행렬(augmented matrix)로 만든 후 기본행연산을 유한 번 시행하여 행사다리꼴 행렬 (또는 기약행사다리꼴 행렬)로 만든 후 연립일차방정식을 푸는 방법을 이라고 한다.

 

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저작자표시


행렬과 선형 변환의 관계


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[캡쳐 프로그램]
oCam

00:00 인사
00:03 간단 복습
01:36 행렬과 벡터의 곱
03:33 선형 변환이란?
07:30 기하학적으로 보는 선형변환
09:50 다양한 선형변환 예시
10:20 shearing
10:49 rotation
11:45 permutation
12:29 projection
선형대수학 행렬 선형변환

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행렬과 선형 변환의 관계

제13강 행렬1 2004 폴수학 수1 (상)


제13강 행렬1 2004 폴수학 수1 (상)

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[선형대수학] 1강 행렬과 행렬식


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━─ ↓↓ 책갈피 ↓↓ ─━
00:08 서론
1. 행렬
01:39 (1) 용어정리
10:13 (2) 행렬의 연산
2. 연립일차방정식
24:20 (1) 행렬의 표현
26:35 (2) 가우스 조던 소거법
38:37 (3) 역행렬 이용
3. 행렬식
40:44 (1) 행렬식이란?
56:25 (2) 역행렬
1:16:07 (3) 크래머 공식
1:21:56 과제 preview
1:25:00 마치며
행렬 행렬식 가우스
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[선형대수학] 1강  행렬과 행렬식

행렬의 기본 연산 8분만에 끝내기


고등학생 1학년의 수준에서 들을 수 있도록 제작된 행렬 강의입니다.
다음 영상은 행렬의 곱셈입니다. 시청해주셔서 감사합니다.
0:00 시작
0:26 기본 용어
2:21 전치행렬, 대칭행렬
5:16 대각행렬, 단위행렬, 영행렬
6:29 A=B
6:52 행렬의 실수배, 덧셈, 뺄셈
행렬의 개념과 활용 강의 목록
1강 행렬의 기본
2강 행렬의 곱셈
3강 행렬과 연립일차방정식
4강행렬식
4강+ 행렬식의 기하학적 의미
5강 역행렬 – 가우스소거법
5강+ 역행렬 – 수반행렬
6강 고유값과 고유벡터
7강 대각화

행렬의 기본 연산 8분만에 끝내기

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